少女が見た流星

ガンダム落とし/ただし時間制限つき。

普通にガンダムを放り出すだけだとコロニー落としと同じで芸がないので、軌道の選定に時間という制限をつけてやりたいと思います。だって降下時間が長すぎたら敵に発見される可能性がどんどん高くなるし第一疲れるじゃないですか(……)。

相変わらず適当な知識を振り回して記述しているので、計算間違いや数学の作法上の誤りを発見された場合は、ご教示いただけるとうれしいです。

前提条件

何のパラメータのヒントもないのはつらいので、独自に前提条件を設定することにします。

  1. ラグランジュ点の離脱から、パーキング軌道上で大気圏突入態勢に入るまでの時間は24時間とする
  2. パーキング軌道上での待機時間は最大1周分までとする
  3. 前述2項から、パーキング軌道の高度は静止衛星軌道以下とする
  4. 各投下カプセルに積載する推進剤の量には限りがないものとする
  5. 減速・加速に要する時間は限りなくゼロに近いものとする
  6. パーキング軌道の高度は400kmとする(軌道周期約92分)

また、計算に用いる各種パラメータは以下の通りです。

  • 地球重力定数(GE) = 398650km3/s2
  • 近地点(rp) = 6778km
  • 所要時間(t) = 22.47h
  • 動半径(r) = ラグランジュ点高度

ちなみに、以後出てくる変数を図の中であらわすとこんな感じになります。

軌道の概念図

遠地点から軌道を求める

パーキング軌道を高度400kmと定めた結果、割り当て可能な残り時間は22.47時間(1348分)です。これよりも所要時間が少なくなる軌道を探していきます。

ホーマン軌道に対して出発速度や出発方向を変更した軌道を準ホーマン軌道といいます。この軌道を使うと、ホーマン軌道よりもエネルギーを消費しますが、所要時間を短縮できます。

この準ホーマン軌道を求めるにあたり、近地点(パーキング軌道半径)、動半径(ラグランジュ点の在り処)、所要時間はわかっているので、遠地点を少しずつ上げていけば近い値が見つかるはずです。

……が、のっけからつまづきました。計算結果が途中からむちゃくちゃになるのです。

近地点速度から軌道を求める

1日悩んで埒があかなかったので、別のアプローチを採ることにしました。距離を決めて求めるのが駄目なら、速度を決めて求めればいいのです。

たとえば、近地点速度(vp)を求める式は以下のようになっています。
vp = SQRT(GE/rp)×SQRT(ra/a)
GE、rpはわかっているので、
ra/a = (vp/SQRT(GE/rp))2
と変形できます。ちなみに遠地点(ra)、長半径(a)です。

ra/aがわかると、離心率(e)を求めることができます。
e = ra/a - 1で求まります。

離心率が求まると、長半径(a)を求めることができます。
a = rp / (1 - e)で求まります。

楕円軌道から双曲線軌道へ

で、近地点速度を変えながら離心率を求めていたら、あることに気づきました。

離心率が1越えてる!

楕円軌道の離心率は0<e<1なので、1を越えてしまったら軌道が楕円でないことになってしまいます。

つまり、近地点速度を上げていくと、途中で軌道が放物線軌道(e = 1)〜双曲線軌道(e > 1)に変化するのです。
先日の結果が無茶苦茶になったのも無理はありません。

ちなみに双曲線軌道になると、長半径(a)の値がマイナスになります。

で、何が問題になるかというと、長半径が求まったあたりで平均運動(n)が求まるのですが、そのまま公式
n = SQRT(GE / a3)にぶち込んだら、双曲線軌道の場合nが虚数になってしまいます。
よくわからないので、マイナスになっているaを絶対値にして無理やりにnを求めます。つまり、
n = SQRT(GE / |a|3)とやってごまかしてみました。

誰か正しい双曲線軌道の平均運動の求め方を教えてください。お願いします。

動半径から所要時間を求める

気を取り直して、すでにわかっている動半径(ラグランジュ点高度)から真近点角(θ)を求めます。
cosθ = a(1-e2)/re - (1/e)
これは軌道が楕円でも双曲線でも同じです。

真近点角がわかると、離真近点角(E)を求めることができます。
cosE = (e + cosθ)/(1 + ecosθ)

また、双曲線軌道の場合は、
coshF = (e + cosθ)/(1 + ecosθ)

Eそのものはacos、Fはacoshで求められます。

最後に所要時間tを求めます。
楕円軌道の場合は、t = (E - esinE) / n
双曲線軌道の場合は、t = (esinhF - F)/n
で求めることができます。

各ラグランジュ点からの所要時間

最初は近地点速度を10.8km/sとおいて、0.01km/sずつ速度を上げていきながら、ラグランジュ点からの所要時間を計算していき、初めて22.47時間を下回った数値を条件をみたす解とします。

まずはL1から。

vpra/aerp/aacosθcosE/coshFE/Fnt
10.801.98315795810.98315795810.0168420419402445.26428-0.97478525790.20111156891.36830382.47307E-0645.52
10.811.98683217310.98683217310.0131678269514739.45119-0.97107773510.37772049581.18346321.70968E-0643.82
10.821.99050978850.99050978850.0094902115714209.58594-0.96739432470.55318082160.98461871.04606E-0642.34
10.831.99419080450.99419080450.00580919551166770.84792-0.96373479690.72750349230.75612015.00977E-0741.03
10.841.99787522090.99787522090.00212477913189978.62211-0.96009892480.90069931570.44941981.10819E-0739.85
10.852.00156303781.00156303780.0015630378-4336427.56839-0.95648648441.07277896360.37924376.99194E-0833.56
10.862.00525425511.00525425510.0052542551-1290002.07581-0.95289725451.24375297390.68475934.30934E-0731.55
10.872.00894887291.00894887290.0089488729-757413.81521-0.94933101661.41363175280.88079159.57847E-0729.77
10.882.01264689131.01264689130.0126468913-535941.98461-0.94578755491.58242557671.03276841.60923E-0628.17
10.892.01634831001.01634831000.0163483100-414599.42837-0.94226665661.75014459421.15891102.36512E-0626.73
10.902.02005312931.02005312930.0200531293-338002.10903-0.93876811101.91679882831.26753103.21304E-0625.42
10.912.02376134911.02376134910.0237613491-285253.16407-0.93529171052.08239817831.36327514.14429E-0624.23
10.922.02747296931.02747296930.0274729693-246715.23246-0.93183724972.24695242131.44906125.15231E-0623.14
10.932.03118799001.03118799000.0311879900-217327.24704-0.92840452602.41047121471.52686626.23196E-0622.14
10.942.03490641111.03490641110.0349064111-194176.36414-0.92499333902.57296409731.59810367.37907E-0621.22
10.952.03862823281.03862823280.0386282328-175467.51459-0.92160349102.73444049201.66382538.59015E-0620.36

vp = 10.93km/sで初めて所要時間が22.47時間以下になりました。

ちなみにこの表をグラフに起こすと、次のようになります。

近地点速度と所要時間の関係

おお、5時間くらいまでは短縮できそうな勢いです。

次はL2です。

vpra/aerp/aacosθcosE/coshFE/Fnt
10.801.98315795810.98315795810.0168420419402445.26428-0.9864707174-0.10989975581.68091852.47307E-0679.04
10.811.98683217310.98683217310.0131678269514739.45119-0.98274125600.13546392351.43491461.70968E-0674.28
10.821.99050978850.99050978850.0094902115714209.58594-0.97903604960.37923184561.18183031.04606E-0670.45
10.831.99419080450.99419080450.00580919551166770.84792-0.97535486710.62141921760.90024355.00977E-0767.27
10.841.99787522090.99787522090.00212477913189978.62211-0.97169748040.86204105490.53151331.10819E-0764.55
10.852.00156303781.00156303780.0015630378-4336427.56839-0.96806366401.10111218390.44598826.99194E-0855.48
10.862.00525425511.00525425510.0052542551-1290002.07581-0.96445319541.33864724500.80136364.30934E-0751.11
10.872.00894887291.00894887290.0089488729-757413.81521-0.96086585491.57466069551.02641109.57847E-0747.36
10.882.01264689131.01264689130.0126468913-535941.98461-0.95730142541.80916681241.19901311.60923E-0644.11
10.892.01634831001.01634831000.0163483100-414599.42837-0.95375969272.04217969551.34097502.36512E-0641.27
10.902.02005312931.02005312930.0200531293-338002.10903-0.95024044512.27371326971.46226313.21304E-0638.75
10.912.02376134911.02376134910.0237613491-285253.16407-0.94674347362.50378128781.56844804.14429E-0636.51
10.922.02747296931.02747296930.0274729693-246715.23246-0.94326857162.73239733361.66302225.15231E-0634.50
10.932.03118799001.03118799000.0311879900-217327.24704-0.93981553532.95957482391.74834526.23196E-0632.69
10.942.03490641111.03490641110.0349064111-194176.36414-0.93638416323.18532701131.82609867.37907E-0631.05
10.952.03862823281.03862823280.0386282328-175467.51459-0.93297425643.40966698681.89752928.59015E-0629.55
10.962.04235345491.04235345490.0423534549-160034.16992-0.92958561823.63260768201.96359039.86227E-0628.18
10.972.04608207751.04608207750.0460820775-147085.38256-0.92621805453.85416187202.02502941.11929E-0526.93
10.982.04981410061.04981410060.0498141006-136065.89138-0.92287137354.07434217702.08244441.25797E-0525.77
10.992.05354952411.05354952410.0535495241-126574.42075-0.91954538574.29316106552.13632201.40209E-0524.70
11.002.05728834821.05728834820.0572883482-118313.76215-0.91623990384.51063085572.18706381.55147E-0523.71
11.012.06103057271.06103057270.0610305727-111059.09222-0.91295474284.72676371862.23500581.70594E-0522.79
11.022.06477619771.06477619770.0647761977-104637.20076-0.90968972004.94157167952.28043181.86538E-0521.93
11.032.06852522311.06852522310.0685252231-98912.48347-0.90644465475.15506662072.32358422.02964E-0521.13
11.042.07227764911.07227764910.0722776491-93777.26154-0.90321936865.36726028322.36467132.19862E-0520.38

L2は地球から最も遠いラグランジュ点です。よってvp = 11.02km/sと、近地点速度も最大になっています。

次はL3ですが、そろそろ省スペースにします。

vpra/aerp/aacosθcosE/coshFE/Fnt
10.922.02747296931.02747296930.0274729693-246715.23246-0.93864522882.49744826051.56568495.15231E-0629.02
10.932.03118799001.03118799000.0311879900-217327.24704-0.93520040782.69381576301.64772446.23196E-0627.62
10.942.03490641111.03490641110.0349064111-194176.36414-0.93177719952.88895126321.72264327.37907E-0626.34
10.952.03862823281.03862823280.0386282328-175467.51459-0.92837540533.08286607681.79159938.59015E-0625.16
10.962.04235345491.04235345490.0423534549-160034.16992-0.92499482933.27557138171.85547979.86227E-0624.08
10.972.04608207751.04608207750.0460820775-147085.38256-0.92163527763.46707822021.91498131.11929E-0523.09
10.982.04981410061.04981410060.0498141006-136065.89138-0.91829655883.65739750111.97066281.25797E-0522.16
10.992.05354952411.05354952410.0535495241-126574.42075-0.91497848413.84654000182.02297951.40209E-0521.30
11.002.05728834821.05728834820.0572883482-118313.76215-0.91168086644.03451637002.07230841.55147E-0520.50

vp = 10.98km/sと、L2とL1の中間の値になりました。

次にL4、L5の場合です。

vpra/aerp/aacosθcosE/coshFE/Fnt
10.922.02747296931.02747296930.0274729693-246715.23246-0.93825701462.48054445621.55826855.15231E-0628.62
10.932.03118799001.03118799000.0311879900-217327.24704-0.93481288342.67469528251.64004866.23196E-0627.25
10.942.03490641111.03490641110.0349064111-194176.36414-0.93139036062.86762801391.71474277.37907E-0625.99
10.952.03862823281.03862823280.0386282328-175467.51459-0.92798924773.05935383841.78350208.59015E-0624.84
10.962.04235345491.04235345490.0423534549-160034.16992-0.92460934863.24988380751.84720859.86227E-0623.78
10.972.04608207751.04608207750.0460820775-147085.38256-0.92125046963.43922883891.90655531.11929E-0522.80
10.982.04981410061.04981410060.0498141006-136065.89138-0.91791241953.62739971851.96209791.25797E-0521.90
10.992.05354952411.05354952410.0535495241-126574.42075-0.91459500913.81440710182.01428941.40209E-0521.05
11.002.05728834821.05728834820.0572883482-118313.76215-0.91129805194.00026151642.06350461.55147E-0520.27

vp = 10.98km/sで条件を満たします。L3とほぼ同じです。

投下軌道上での初速を求める

最後にラグランジュ点出発時の速度を求めます。楕円軌道、双曲線軌道のいずれも、
v = SQRT(2GE/r - GE/a)で求められます。

すなわちL1の場合はv = 2.075km/s、
L2の場合はv = 2.366km/s、
L3の場合はv = 2.235km/s、
L4、L5の場合はv = 2.240km/sとなります。

離脱時の加減速を求める

ラグランジュ点上での地球周回軌道から投下軌道に変換する場合に必要な加減速を計算します。平行四辺形の法則を用いて速度を合成すれば求められるはずです。たぶん。

平行四辺形の法則は以下の式で表されます。
v = SQRT(v12 + v22), tanθ = v2/v1

L1の場合、v1 = 0.859km/s、合成速度v = 2.075km/sということがわかっているので、逆に v2 = SQRT(v2 - v12)
= SQRT(2.0752 - 0.8592) = 1.888km/s

(途中執筆中)

大気圏突入〜着陸・着水の所要時間

スペースシャトルの場合、このシーケンスには約1時間を要します。オペレーション・メテオの場合もほぼ同様と考えられます。

ちなみに、やや古い資料からの抜粋ですが、高度274kmからのスペースシャトル帰還シーケンスはこんな感じです。だいたいの流れなので、確認作業や予備操作の類は取り除いています。

着陸1時間15分前
高度274km / 軌道離脱噴射のための機位変更(SSには逆噴射機構がないから)
着陸1時間前
軌道離脱噴射(2〜3分継続)
着陸52分前
降下中 / 機体を軌道侵入の姿勢に変更
着陸30分前
高度122km / 大気圏進入開始
着陸25〜23分前
高度95km / 空力制御開始
着陸16〜5分30秒前
着陸地点にあわせてSターン開始(数回実行)
着陸2分前
高度4km / 自動着陸誘導開始・進入角を22度に保持
着陸30秒前
高度600m / 進入角を1.5度に変更
着陸14秒前
高度27m / ランディングギアダウン
着陸
高度0m / 着陸
着陸2分後
高度0m / 停止

シャトル型に偽装した突入体は、おおむね上記と同じようなシーケンスをたどると思われます。

参考文献

宇宙工学入門 II 宇宙ステーションと惑星間飛行のための誘導・制御
茂原正道・木田隆著, 培風館, 1998年
スペース・シャトル搭乗員ハンドブック(THE SPACE SHUTTLE OPERATOR'S MANUAL)
Kerry Mark Joels・Gregory P.Kennedy・David Larkin著 / 野田昌宏訳, 角川書店, 1983年

(公開開始 : 2004/12/12 / 数値修正及び加筆 : 2004/12/20)